Lembaga keuangan

Bab IV programlinear

Program Linear

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.

Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
  • Menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• Langkah 1 menggambar grafiknya

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Lankah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Tentukan dimana nilai maksimum fungsi f(x, y) = 4x + 5y yang akan dicapai pada pada grafik ini!

Pembahasan 2:

Titik ekstrim pada gambar adalah:

• A tidak mungkin maksimum karena titik paling kiri.
• B(3, 6)
• C(8, 2)
• D(8, 0)

Nilai tiap titik ekstrim adalah:

• 
• 
• 

Sehingga nilai maksimum ada pada titik yang melalui garis BC dengan nilai maksimum 42.

Contoh Soal 3

Pedagang buah memiliki modal Rp. 1.000.000,00 untuk membeli apel dan pisang untuk dijual kembali. Harga beli tiap kg apel Rp 4000,00 dan pisang Rp 1.600,00. Tempatnya hanya bisa menampung 400 kg buah. Tentukan jumlah apel dan pisang agar kapasitas maksimum.

Pembahasan 3:

Diketahui:

Dengan syarat:

• Kapasitas tempat: x + y ≤ 400
• Modal: 4.000x + 1.600y ≤ 1.000.000 
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Diagramnya:

Titik ekstrim:

• A(0, 400) bukan optimum karena tidak ada apel
• C(250, 0) bukan optimum karena tidak ada pisang
•  dengan metode eliminasi 2 persamaan diatas diperoleh:

Sehingga jumlah masimum:

• Apel: 150 kg
• Pisang: 250 kg

JIKA BELUM PAHAM SILAKAN UNDUH ATAU SAKSIKAN VIDEO PENERAPAN DARI MATERI DI ATAS KLIK DI DISINI

Bab III Sistem persamaan linear

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

Memahami Sistem Persamaan Linier Dan Metode Penyelesaiannya

By bangkit 

Sistem Persamaan Linier | Persamaan linier sama halnya dengan persamaan aljabar , yaitu merupakan sebuah  sisitem hitung dalam ilmu matematika dan dapat digambarkan dalam bentuk garis lurus dalam sebuah grafik . Sistem persamaan linier disebut juga dengan sisitem persamaan garis . Dan pada pembahasan sebelumnya , telah kita pelajari rumus sistem persamaan garis lurus , jadi pasti kita masih ingat dong bagaimana gambaran tentang bentuk persamaan .

Lalu bagaimanakah cara atau metode dalam menyelesaikan sistem persamaan linier ? Pada pembahasan kali ini , kita akan mempelajari apa itu persamaan linier dan bagaimana metode dalam meyelesaikan persamaan linier secara lengkap dan tepat .

Sistem Persamaan Linier

Sebelum kita mempelajari bagaimana metode dalam menyelesaikan siste persamaan linier , maka kita harus memahami terlebih dahulu mengenai definisi kalimat terbuka dan definisi persamaan serta tentang sistem persamaan linier . Sehingga dalam menyelesaikan persamaan linier kita tidak bingung.

A. Pengertian Kalimat terbuka , persamaan dan persamaan linier 

Kalimat Terbuka , yaitu suatu kalimat yang memiliki atau memuat variabel .

Persamaan , yaitu kalimat terbuka yang menyatakan hubugan sama dengan ( = ) .

Persamaan Linier , yaitu suatu persamaan yang setiap sukunya mengandung konstanta dengan variabelnya berderajat satu ( tunggal ) dan persamaan ini , dapat digambarkan dalam sebuah grafik dalam sistem koordinat kartesius .

Suatu Persamaan akan tetap bernilai benar atau EKWIVALENT ( < = > ) , Apabila ruas kiri dan ruas kanan ditambah atau dikurangi dengan bilangan yang sama .

Bentuk umum persamaan linier :

y = mx + b 

Contoh bentuk persamaan linier :

y = -x + 5

y = -05x + 2

Contoh bentuk grafik persamaan linier :

Dari gambar di atas , dapat kita simpulkan bahwasannya m atau gradiennya = 0,5 dan b atau titik potong sumbu y = 2  ( pada garis merah )

B. Metode Penyelesaian Persamaan Linier 

Ada beberapa metode yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sebuah permasalahan persamaan linier , metode – metode tersebut adalah :

a. Metode Substitusi

b. Metode Eliminasi

c. Metode Campuran ( eliminasi dan substitusi )

d. Metode grafik

Berikut adalah penjelasan lebih rinci mengenai metode penyelesaian persamaan linier :

1. Metode Substitusi 

Metode subsitusi yaitu metode atau cara menyelesaikan persamaan linier dengan mengganti salah satu peubah dari suatu persamaan dengan peubah yang diperoleh dari persamaan linier yang lainnya .

Untuk lebih jelasnya lagi , perhatikan contoh berikut ini :

Diketahui persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan Himpunana Penyelesaiannya :

Penyelesaiannya :

x + 3y = 7

< = > x = -3y + 7   . . . .( 1 )

Lalu , masukkan persamaan ( 1 ) ke dalam persamaan ( 2 ) untuk mencari nilai y

2x + 2y = 6

< = > 2 ( -3y + 7 ) + 2y = 6

< = > -6y + 14 + 2y = 6

< = > -6y + 2y = 6 – 14

< = > -4y = – 8

< = > y = 2

Gunakan persamaan antara persamaan ( 1 ) atau ( 2 ) untuk mencari nilai x

x + 3y = 7

< = > x + 3 ( 2 ) = 7

< = > x + 6 = 7

< = > x = 1

Jadi , HP = { 1 , 2 }

2. Meode Eliminasi 

Metode Eliminasi , yaitu metode penyelesaian sistem persamaan linir dengan cara mengeliminasi atau menghilangkan salah satu peubah dengan menambahkan atau mengurangkan dengan menyamakan koefisien yang akan dihilangkan tanpa memperhatikan nilai positif atau negatif .

Apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda sama , maka untuk mengeliminasi menggunakan sistem operasi pengurangan . Dan sebaliknya apabila peubah yang akan dihilangkan bertanda berbeda , maka untuk mengaliminasi menggunakan operasi penjumlahan .

Utuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut ini :

Masih dengan contoh yang sama , namun dengan cara yang berbeda yaitu :

Diketahui dua persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut !

Langkah pertama adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien x untuk mengetahui nilai y

2x + 2y = 6   : 2

< = > x + y = 3

lalu , lakukan

x + 3y = 7

x + y = 3   _

2y = 4

y = 2

Langkah selanjutnya adalah lakukan eliminasi dengan mengurangkan untuk menghilangkan peubah atau koefisien y untuk mengetahui nilai x

2x + 2y = 6 | x3 | < = >  6x + 6y = 18

x + 3y = 7 | x 2 | < = >  2x + 6 y = 14      _

                                           4x + 0 = 4

                                               x = 1

Jadi , Himpunan penyelesaian yang dihasilkan sama yaitu HP = { 1 , 2 }

3. Metode Campuran ( antara eliminasi dan substitusi ) 

Yang dimaksud dari metode ini , yaitu kita dalam mencari himpunan penyelesaian menggunakan dua metode boleh gunakan eliminasi terlebih dahulu setelah diketahui salah satu nilai peubah baik itu x atau y maka selanjutnya masukkan ke dalam metode substitusi atau sebaliknya .

Untuk lebih jelasnya , perhatikan contoh berikut :

Diketahui dua persamaan  x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , tentukan HP dari persamaan tersebut !

Langkah pertama lakukan metode eliminasi , untuk mecari nilai x

2x + 2y = 6 | x3 | < = >  6x + 6y = 18

x + 3y = 7 | x 2 | < = >  2x + 6 y = 14      _

                                           4x + 0 = 4

                                               x = 1

Selanjutnya substitusikan nilai x ke dalam salah satu persamaan :

x + 3y = 7

< = > 1 + 3y = 7

< = > 3y = 7  – 1

< = > 3y = 6

< = > y = 2

 Maka hasilnyapun sama yaitu HP = { 1 , 2 }

4. Metode Grafik 

Metode grafik , yaitu dengan menggambarkan dua persamaan pada grafik kartesius , dan himpunan penyelesaiannya dihasilkan dari titik potong dari kedua garis tersebut . Yang perlu diperhatikan yaitu ketika menggambar titik sumbu kartesiusnya harus sama dan konsisten .

Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar grafik berikut :

Gambarlah grafik persamaan x + 3y = 7 dan 2x + 2y = 6 , dan tentukan titik potongnya

Dari gambar di atas , maka kita dapat melihat bahwa titik potongnya berada pada titik { 1 , 2 } dan dengan kata lain HP = { 1 , 2 }

Demikian penjelasan mengenai sistem persamaan linier dan metode penyelesaiannya . Semoga dengan penjelasan diatas kita dapat lebih faham mengenai apa itu sistem persamaan dan cara – cara dalam menyelesaikannya . Untuk memudahkan dalam menyelesaikan sistem persamaan , langkah yang pertama yaitu memahami bentuk dari persamaan linier itu sendiri dan selanjutnya kita fahami cara – caranya . Semoga bermanfaat dan dapat membantu permasalahan dalam menyelesaikan persamaan linier .

DOWNLOAD VIDEO PENERAPAN DARI MATERI DI ATAS KLIK DISINI

Bab II persamaan dan pertidaksamaan linear

Bab 2 persamaan dan pertidaksamaan linear

Persamaan dan Pertidaksamaan Linier biasanya akan mulai kita pelajari saat kita berada di bangku kelas 10. Tepatnya bab 2 dari pelajaran matematika kelas 10.

Dan kali ini kita berkesempatan untuk membahas materi mengenai Persamaan dan Pertidaksamaan Linier. Informasi selengkapnya simak baik-baik ulasan di bawah ini ya.

Namun sebelum itu, untuk memudahkan pemahaman materi ini, akan kami berikan ilustrasi kegiatan sehari-hari yang berkaitan dengan materi Persamaan dan Pertidaksamaan Linier.

Ilustrasi Pembahasan

Berikut akan kami berikan cerita atau ilustrasi dari kegiatan sehari-hari. Perhatikan baik-baik ya..

Pada saat Gilang sedang tertidur lelap, tiba-tiba ibu membuka pintu dan membangunkan Gilang untuk membelikan martabak telur.

“Gilang, tolong beliin ibu martabak telur di warung sebelah untuk buka puasa nanti” kata ibu.

Kemudian, Gilang pun bangkit dari tempat tidurnya dan berkata “Ok bu, seinget Gilang harga buat martabak telur 8 ribu bu” kata Gilang.

“Ya udah” kata ibu sambil merogoh dompet. Kemudian ibu mengamil dua lembar uang dua puluh ribuan. “Nih uangnya, kamu beliin aja semuanya ya” kata ibu.

Dari cerita atau ilustrasi di atas nantinya akan kita cari tahu berapa banyak jumlah martabak telur yang harus dia beli.

Pada persoalan di atas, dapat kita selesaikan dengan menggunakan persamaan linear. Berikut ulasannya selengkapnya.

Persamaan linear

Persamaan linear merupakan suatu persamaan di mana pangkat variabelnya yaitu satu.

Adapun bentuk umum dari persamaan linear, seperti:

ax + b = c, a ≠ 0, a,b,c E R

Dari uraian cerita di atas, untuk meencari nilainya, maka kita perlu membuat “pembelian martabak telur” tadi menjadi sebuah persamaan linear.

Langkah pertama yang harus kita lakukan adalah menganggap jumlah martabak telur sama dengan “x”. Sebab dalam cerita di atas, Gilang harus menghabiskan uang 40 ribu untuk membeli “jumlah martabak telur yang belum diketahui”. Dengan harga satu bungkus martabak telur seharga 8 ribu, sehingga, kita buat kalimat matematikanya menjadi:

8000x = 40000

Jika sudah begini jadi gampang deh. Kemudian:

x = 40000/8000

x = 5 bungkus

Itu tadi merupakan salah satu contoh paling sederhana dari persamaan linear. Sudah tau kan apa itu persamaan linear?

Seperti yang telah disebutkan di atas, persamaan linear merupakan persamaan yang mengandung variabel berpangkat satu. Persamaan ini disebut juga sebagai persamaan berderajat satu  atau persamaan linear satu variabel.

Dengan bentuk umumnya yaitu: ax + b = c, a ≠ 0, a, b, c, E R

Adapun sifat dari persamaan linear, antara lain:

Sifat Persamaan Linear

1. Suatu persamaan tidak berubah nilainya apabila ditambah atau dikurang dengan bilangan yang sama.
2. Suatu persamaan tidak berubah nilainya apabila kedua ruas dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Paham kan maksud dari sifat persamaan linear di atas?

Untuk memudahkan pemahaman kalian, coba kita pakai contoh dari persamaan martabak telur tadi ya.

8000x = 40000

Persamaan tersebut, tidak akan berubah jika kita ganti menjadi, sebagai contoh:

i) 8000x + 2000 = 40000 + 2000

ii) 8000x – 2000 = 40000 – 2000

Dalam persamaan linear, penjumlahan dan juga pengurangan angka di kedua ruas tidak akan mempengaruhi atau mengubah persamaan itu sendiri.

Yang berarti, persamaan martabak telur awal Gilang bernilai sama dengan persamaan i serta persamaan ii.

Hal tersebut juga berlaku jika nantinya kita ganti menjadi, sebagai contoh;

a) 8000x X 5 = 40000 X 5

b) 8000x : 5 = 40000 : 5

Persamaan awal dari martabak telur Rogu pun sejatinya sama dengan persamaan a dan juga b. Inilah yang dimaksud sebagai sifat-sifat persamaan linear.

Sama halnya dengan para pemuda lainnya, sebelum Gilang membeli martabak telur langganannya, Gilang kemudian berkeliling sebentar.

Atau istilah kerennya sih kita sebut dengan ngabuburit.

Di tengah perjalanannya, Gilang menjumpai sebuah papan rambu lalu lintas yang baru di dekat rumahnya. Bentuk dari papan rambu tersebut ialah seperti berikut ini:

Salah. Tanda itu bukan berarti penjual martabak telurnya pindah 30 km ke depan.

Namun, kecepatan berkendara di sana memiliki batas maksimal 30km/jam.

Gilang kemudian berpikir dalam hati, “Perasaan rambu ini kemaren nggak ada, deh.”

Ya, sebab belakang waktu ini memang banyak pengendara yang suka kebut-kebutan di daerah rumah Gilang.

Gilang juga sebenarnya sebal mengenai hal itu. Kebut-kebutan, motornya dimodifikasi, knalpotnya diganti jadi bersuara kencang. Beuh, suara kita, kan, jadi nggak kedengaran.

Niat untuk memesan“Bang, martabak telur 5 bungkus!” malah Abangnya mendengar Ging berkata, “Bebek belur bolu kukus!”

Di tengah pikirannya, Gilang teringat dengan pelajaran matematikanya di sekolah. Apabila ditulis dalam persamaan matematika dengan mengandaikan “kecepatan berkendara sebagai = x”, maka rambu tadi artinya: x < 30km/jam.

Tanpa sadar, hal tersebut termasuk ke dalam pertidaksamaan.

Pertidaksamaan Linear

Taukah kamu apa itu pertidak samaan linear? Pertidaksamaan merupakan suatu kalimat terbuka yang memakai tanda <, >, <, >.

Seperti persamaan linear, dalam pertidaksamaan linear juga memiliki beberapa sifat, diantaranya yaitu:

Sifat Pertidaksamaan Linear

1. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila ditambahkan atau dikurangkan dengan bilangan yang sama.
2. Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya apabila kedua ruasnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan yang sama.

Jika kalian perhatikan baik-baik, sifat-sifat pertidaksamaan ini sama dengan yang ada pada sifat persamaan linear.

Lantas, apa yang menjadi perbedaan persamaan linear dengan pertidaksamaan linear?

Selain pada pemakaian “tanda, perbedaannya juga terdapat pada waktu saat pengali ataupun pembagian bilangan yang negatif”.

Dalam persamaan linear, jika kedua ruas kita kali atau bagi ke dalam bilangan negatif, maka “tanda”-nya akan tetap sama dengan (=).

Hal tersebut berbeda halnya dengan yang ada pada pertidaksamaan linear.

Dalam pertidaksamaan linear, jika terdapat kasus di mana kedua ruas dikali atau bagi dengan bilangan negatif (-), maka tanda yang sebelumnya akan berubah menjadi tanda sebaliknya.

Sebagai contoh:

-3x + 2 < 20

= -3x < 18

= 3x > -18 (perhatikan pada bagian ini. Tanda < berubah menjadi > pada waktu kedua ruas dikali dengan negatif (-))

= x > -6

Sifat Pertidaksamaan Linear

Atau sifat dari pertidaksamaan linear ini juga bisa pahami dengan beberapa uraian di bawah ini:

• Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah tandanya apabila kedua ruas pertidaksamaan ditambah ataupun dikurangi dengan bilangan yang sama
  Sebagai contoh: x > y maka x + a > y + a
• Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah tandanya apabila kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama.
  Sebagai contoh: x ≤ y maka a .x ≤ y. a  dengan a > 0
• Suatu pertidaksamaan akan berubah tandanya apabila kedua ruas dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama.
  Sebagai contoh: x ≤ y maka –x a ≥ -y a (akan berubah tanda sebab kedua ruas dikali dengan bilangan negatif yang sama)
  Sebagai contoh: x ≤ y maka x/-b ≥ y/ -b (berubah tanda karena kedua ruas dibagi dengan bilangan negatif yang sama.)

Contoh Soal dan Pembahasan

Berikut ini akan kami berikan beberapa contoh soal sekaligus pembahasannya mengenai Persamaan dan Pertidaksamaan Linier. Perhatikan baik-baik ya.

Klik di bawah ini

DOWNLOAD LATIHAN SOAL